Wahrscheinlichkeiten...

Forum für das Spiel Backgammon

Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Gast » Sa Sep 14, 2013 14:42

Hallo zusammen,

da ich mich gerade ins Backgammon "einarbeite" und gleichzeitig angesichts des startenden Mathe-LK meines Sohnes wieder meine Mathekenntnisse etwas auffrischen möchte, habe ich mir mal die emotionalen Threads mit den Pasch-Wahrscheinlichkeiten zur Brust genommen.

Zunächst wollte ich erst einmal wissen, ob Pasch wirklich häufiger kommt als statistisch zu erwarten wäre (d.h. 1/6 aller Würfe). Dazu habe ich die drei aktuellsten Turniere genommen und die Züge der noch nicht gelöschten Spiele betrachtet. Das waren insgesamt 3915. Davon gab es 592 mal Pasch (etwa 15,1 Prozent), also soger ein klein wenig unterhalb dessen, was man erwarten würde. Hier alle Würfe in einer kleinen Matrix:

Code: Alles auswählen
X     1     2     3     4     5     6
1   102   117   116   109   111   127
2    98   108   104   110   123   124
3   112   113   107    98   107    95
4   117   103   112    85   117   113
5   109   114   105   100    93   119
6   100   106   114   108   122    97


Nun zu den Fällen, die die Emotionen überkochen ließen:

Problem 1: Fünfmal 6x6-Pasch aus 55 Würfen

55!/(50!*5!) * (1/36)^5 * (35/36)^50
ziemlich genau 0.01, also das kommt einmal in 100 Spielen vor, d.h. etwa einmal pro Turnier, also nicht so furchtbar selten.

Problem 2: 7 mal Pasch in einem Spiel mit 55 Würfen
(7 mal Pasch sind sogar recht wenig, erwarten sollte man in etwa 9).
55!/(48!*7!) * (1/6)^7 * (5/6)^48 = 0.1147, also ca. jedes 9. Spiel.

Weitere Wahrscheinlichkeiten:
0x Pasch: 55!/(55!*0!) * (1/6)^0 * (5/6)^55 = 0.00004416
1x Pasch: 55!/(54!*1!) * (1/6)^1 * (5/6)^54 = 0.0004858
2x Pasch: 55!/(53!*2!) * (1/6)^2 * (5/6)^53 = 0.002623
3x Pasch: 55!/(52!*3!) * (1/6)^3 * (5/6)^52 = 0.009268
4x Pasch: 55!/(51!*4!) * (1/6)^4 * (5/6)^51 = 0.0241
5x Pasch: 55!/(50!*5!) * (1/6)^5 * (5/6)^50 = 0.04916
6x Pasch: 55!/(49!*6!) * (1/6)^6 * (5/6)^49 = 0.08193
7x Pasch: 55!/(48!*7!) * (1/6)^7 * (5/6)^48 = 0.1147
8x Pasch: 55!/(47!*8!) * (1/6)^8 * (5/6)^47 = 0.1376
9x Pasch: 55!/(46!*9!) * (1/6)^9 * (5/6)^46 = 0.1438
10x Pasch: 55!/(45!*10!) * (1/6)^10 * (5/6)^45 = 0.1323
11x Pasch: 55!/(44!*11!) * (1/6)^11 * (5/6)^44 = 0.1082
12x Pasch: 55!/(43!*12!) * (1/6)^12 * (5/6)^43 = 0.07936
13x Pasch: 55!/(42!*13!) * (1/6)^13 * (5/6)^42 = 0.0525
14x Pasch: 55!/(41!*14!) * (1/6)^14 * (5/6)^41 = 0.0315
15x Pasch: 55!/(40!*15!) * (1/6)^15 * (5/6)^40 = 0.01722
16x Pasch: 55!/(39!*16!) * (1/6)^16 * (5/6)^39 = 0.00861
17x Pasch: 55!/(38!*17!) * (1/6)^17 * (5/6)^38 = 0.00395
18x Pasch: 55!/(37!*18!) * (1/6)^18 * (5/6)^37 = 0.001668

Erwartungswert ist also tatsächlich 9x Pasch. Man kann sogar erwarten, dass es im Laufe des Turniers einmal vorkommt, dass 16mal oder öfter Pasch gewürfelt wird.

Problem 3: von 6 Würfen 5 mal Pasch

6!/(1!*5!) * (1/6)^5 * (5/6)^1
= 5 / 6^5 = 1/1555
Bei Spielen mit durchschnittlich 55 Würfen sollte das in ca. einem von 28 Spielen stattfinden (also mehrmals in jedem Turnier)

Problem 4: Dreimal Pasch hintereinander:

Bei einem Spiel mit 55 Würfen 53x1/216. Das ist etwa jedes 4. Spiel, also ziemlich häufig.

Die Mathematik sagt uns also, dass sich alles im Rahmen des ganz Normalen bewegt. :surprise:
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon dialexna » Sa Sep 14, 2013 16:14

Wow, hast du dir aber eine Menge verdienstvoller Arbeit gemacht.

Aber schön, dass mal jemand dies wirklich durchführt und man in der Diskussion von den subjektiven Wahrnehmungen
wegkommt.
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Susanna » Sa Sep 14, 2013 21:20

Hey, das nur zu lesen - auch wenn's oft chinesisch klingt, ist ein Vergnügen! Susanna
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon elbe-horst » So Sep 15, 2013 14:31

Finde ich auch Klasse, dass Du soviel Aufwand betrieben hast. Trozdem werden einige bestimmt weiterhin gegen die Mathematik andiskutieren...
Nur für den Fall, dass jemand anfängt nachzuzählen, um dann womöglich aufzuheulen, weil es ja viel mehr Partien sind, in denen es 5 x 6er-Pasch gibt, die folgende Anmerkung:
Deine Berechnung bezieht sich auf den Fall von [u]genau[u] 5 x Pasch. Bezieht man die Möglichkeiten, die 5 zu überschreiten, mit ein, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0,018. Damit findet das Ereignis durchschnittlich sogar alle 55 Spiele statt und in ca. jedem 10. Spiel wird irgendein Pasch 5 x geworfen. :)
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon elbe-horst » So Sep 15, 2013 14:35

Also das "genau" hätte eigentlich unterstrichen sein sollen, so sieht es ja etwas merkwürdig aus... :)
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Susana » Mo Okt 07, 2013 14:23

Gerade spiele ich gegen Slotzer Würfelspiel und wir haben unglaubliche 6 Kniffel hintereinander gewürfelt!
Wer's nicht glaubt: gamenumber=644119
Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 4,6%^6 = 0,00000095 %, das sollte also im Schnitt nur alle 1.350.000 Spiele vorkommen! (Wobei bei den 4,6% sogar noch vorausgesetzt wird, dass man gezielt einen Kniffel bekommen möchte.)
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Omili49 » Mo Okt 07, 2013 16:45

:shock: :shock: jetzt weiß ich warum ich immer verliere - ich kapier einfach
dieses Spiel nicht .........bin zu blond ,,,, :lol: :lol: :lol: :lol:
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Gast » Sa Okt 12, 2013 14:16

karaklis hat geschrieben:...

Zunächst wollte ich erst einmal wissen, ob Pasch wirklich häufiger kommt als statistisch zu erwarten wäre (d.h. 1/6 aller Würfe). Dazu habe ich die drei aktuellsten Turniere genommen und die Züge der noch nicht gelöschten Spiele betrachtet. Das waren insgesamt 3915. Davon gab es 592 mal Pasch (etwa 15,1 Prozent), also soger ein klein wenig unterhalb dessen, was man erwarten würde. Hier alle Würfe in einer kleinen Matrix:

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X     1     2     3     4     5     6
1   102   117   116   109   111   127
2    98   108   104   110   123   124
3   112   113   107    98   107    95
4   117   103   112    85   117   113
5   109   114   105   100    93   119
6   100   106   114   108   122    97


...


Hallo und vielen Dank für die Arbeit.

Ich finde es allerdings bedenklich, dass viel zu wenig Päsche gekommen sind. 3915 Würfe sollten schon eine ausreichend gute Grundlage sein.
3915/6 = 652,5 erwartete Päsche (bei 1/6 aller Würfe)
3915/36 = 108,75 erwartet für einen bestimmten Pasch (11,22,33,44,55,66). Nur 22 hat den erwarteten Wert knapp erreicht mit 108 (lassen wir mal den Dreiviertelpasch aussen vor :wink: )

592-652,5 = 60,5 Päsche "zu wenig"

Eine Standardabweichung sind wenn ich richtig rechne 23,32. Mit 60,5 Päschen also ca. 2,6 Standardabweichungen unter der Erwartung.
Das kann passieren, ist allerdings sehr unwahrscheinlich (ca. 0,5% wenn man 3915 mal würfelt, dass man 592 oder weniger Päsche hat)
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon InI4 » So Okt 13, 2013 8:20

@BerlinBG
Zumindest hat sich der Wind jetzt irgendwie gedreht: Bislang wurde ja andernorts die überhöhte Zahl von Paschen kritisiert.
Allerdings kann man auch die Qualität der Stichprobe in Frage stellen: Das Ereignis nach zwei hohen Paschen des Gegners entnervt aufgegeben und die Partie gelöscht, würde sehr gut zu den beobachteten Abweichungen passen. Statistik bleibt immer ein schwieriges Geschäft.
Der Mensch spielt nur, wo er in voller Bedeutung des Wortes Mensch ist, und er ist nur da ganz Mensch, wo er spielt.
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon magic12 » Sa Okt 26, 2013 0:24

Hallo Karaklis,

du hast ja ne' Menge gerechnet.

Die Mathematik sagt uns also, dass sich alles im Rahmen des ganz Normalen bewegt.

Du behauptest das, kannst du das auch belegen???? Was ist normal beim Spiel und was nicht?
Wer legt das fest? Du mit deiner Aussage? Auf welchen Grundlagen???

Deine Berechnung ist sicherlich interessant, wesentliche Faktoren hast du nicht berücksichtigt.

Die Wahrscheinlichkeit der Mehrfachwürfe ist statistisch gar nicht erfasst.
Beispiel: Ich hatte gerade in einem Spiel ca. 12 Würfe vom Gegner hintereinander, wobei sich
Paschs und normale Zahlen abwechseln. Entscheidend sind nicht die Paschs allein, sondern
die Mehrfachwürfe.

Kannst du so etwas auch berechnen???? Und - wer entscheidet überhaupt was normal ist und
was abweicht.

Gruß
magic12
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Mathomo » Sa Okt 26, 2013 18:32

Mein lieber magic12,

dein letzter Beitrag erscheint mir etwas merkwürdig.

Du behauptest das, kannst du das auch belegen???? Was ist normal beim Spiel und was nicht?
Wer legt das fest? Du mit deiner Aussage? Auf welchen Grundlagen???


Darf ich dich einmal ganz direkt fragen, was du für eine Ausbildung genossen hast? Hast du Mathematik in der Schule gehabt? Hast du studiert? Hast du dabei Statistikkurse belegt (und bestanden)?

Verstehst du überhaupt, worum diese ganze Diskussion geht?

Wenn wir mit dir ernsthaft diskutieren sollen, wäre es gut, wenn du auch eine Ahnung davon hast, was die Gesetze der höheren Mathematik sind.
Wenn du das nicht tust, wäre es sinnvoll, wenn du dich aus solchen Diskussionen heraus hältst und - auch wenn du es nicht verstehst - einfach akzeptierst, dass hier niemand betrogen werden soll, sondern dass sich Würfel und Zufallsgeneratoren einfach so verhalten wie sie sich verhalten, anstatt hier ständig schlechte Stimmung zu verbreiten.

Danke,
Ottmar
Spielen und spielen lassen :)
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Gast » So Okt 27, 2013 7:09

magic12 hat geschrieben:Kannst du so etwas auch berechnen???? Und - wer entscheidet überhaupt was normal ist und was abweicht.

Ottmar hat schon das Wichtigste gesagt.

Um deine Frage zu beantworten: Ja, das kann man berechnen, im Groben habe ich das ja auch gemacht (das Ausrufezeichen in meinen Berechnungen soll das Fakultätszeichen sein). Ob nun etwas normal ist oder abweicht wird in sogenannten "Standardabweichungen" gemessen. Wieviele Standardabweichungen man als "normal" betrachtet, ist allerdings subjektiv (siehe Beispiel in den Ausführungen von BerlinBG). 2-3 Standardabweichungen würde ich hier als "normal" betrachten. Anderswo kann das anders aussehen. Um z.B. das "Higgs-Boson" am LHC mit hinreichender Wahrscheinlichkeit festzustellen haben die Wissenschaftler ein Konfidenzintervall von 5 Standardabweichungen verlangt. Inzwischen beträgt es mehr als 6 Standardabweichungen, d.h. es besteht noch eine Restwahrscheinlichkeit von etwa einem Billionstel, dass es sich nicht um das Higgs-Teilchen handelt, sondern dass es nur zufällige Messergebnisse waren.

Ich hoffe, das hilft dir :D
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon nepal » Mi Nov 06, 2013 12:10

mein gegner würfelte in 11 würfen 3 x 6er-pasch und 1 x 5er-pasch. ist die berechnung dafür dass man das mindestens erreicht mit (1/36)^3 * 1/18 * (11 tief 4) = 0.000393 also 1:2545 korrekt?
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon Susana » Mi Nov 06, 2013 17:58

Nicht ganz, genau genommen muss man alle Wahrscheinlichkeiten für genau i Sechserpaschs und j Fünferpaschs getrennt berechnen und addieren. Die Formel dafür ist
(1/36)^i*(1/36)^j*(34/36)^(11-i-j)*(i aus 11)*(j aus (11-i)) und ergibt z.B. für i = 3 und j = 1 0,0005267 = 1 : 1898.
Addiert man diese Wkten für alle i >=3 und j>=1 oder besser, komme ich mit Tabellenkalkulation auf 0,00075223 = 1: 1329.
Das gilt aber nur für einen der beiden Spieler und feste 11 Züge!
Bei den aktuell 1982 laufenden Spielen sollte es also in den ersten 11 Zügen bei einem der beiden Spieler erwartungsgemäß in etwa 3 Spielen vorkommen.
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Re: Wahrscheinlichkeiten...

Beitragvon magic12 » Mi Nov 06, 2013 21:32

Hallo Mathomo,

seit wann ist eine Nachfrage "schlechte Stimmung" verbreiten????

Das musst du mir mal erklären.

Und außerdem, schon mal was von Demokratie und freier Meinungsäußerung gehört?? Oder gilt das hier nicht?

Gruß
magic12
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